Power Spectrum Estimation Methods (Advanced Signal Processing Toolkit) Et strømspekter beskriver energidistribusjonen av en tidsserie i frekvensdomenet. Energi er en virkelig verdsatt mengde, så strømspektret inneholder ikke faseinformasjon. Fordi en tidsserie kan inneholde periodiske signalkomponenter som ikke er periodiske eller asynkront samplede, anses strømspekteret for en tidsserie vanligvis for å være en kontinuerlig funksjon av frekvens. Når du bruker en rekke diskrete frekvensbakker til å representere kontinuerlig frekvens, er verdien ved en bestemt frekvensboks proporsjonal med frekvensintervallet. For å fjerne avhengigheten av størrelsen på frekvensintervallet, kan du normalisere effektspekteret for å produsere effektspektral tetthet (PSD), som er effektspektrum dividert med størrelsen på frekvensintervallet. PSD måler signalstyrken per båndbredde for en tidsserie i V 2 Hz, som implisitt forutsetter at PSD representerer et signal i volt som kjører en 1 ohm belastning. Hvis PSD er representert i en decibel (dB), er den tilsvarende enheten for PSD dB ref Vsqrt (Hz). Hvis du vil bruke andre enheter til den estimerte PSD av en tidsserie, må du skala tidsenhetens enhet til relevante tekniske enheter (EU). Etter skalering av tidsserienes enhet kan du oppnå tilsvarende enhet for den lineære PSD-verdien og dB PSD-verdien som henholdsvis EU 2 Hz og dB ref EUsqrt (Hz). Bruk TSA-skalaen til EU VI for å skalere enheten for en tidsserie til passende EU. PSD estimeringsmetoder er klassifisert som følger: Parametriske metoder 8212 Disse metodene er basert på parametriske modeller av en tidsserie, for eksempel AR-modeller, glidende gjennomsnittlige (MA) - modeller og ARMA-modeller (ARG-modeller). Derfor er parametriske metoder også kjent som modellbaserte metoder. For å estimere PSD av en tidsserie med parametriske metoder, må du først oppnå modellparametrene til tidsseriene. Du må bygge en passende modell som korrekt reflekterer oppførselen til systemet som genererer tidsserien ellers, den estimerte PSD er kanskje ikke pålitelig. Metoden med flere signalklassifiseringer (MUSIC) er også en modellbasert spektralestimeringsmetode. Ikke-parametriske metoder 8212 Disse metodene, som inkluderer periodogrammetoden. Welch metode. og Capon metode. er basert på den diskrete Fourier-transformasjonen. Du trenger ikke å oppnå parametrene i tidsseriene før du bruker disse metodene. Den primære begrensningen av ikke-parametriske metoder er at beregningen bruker datavinduering. noe som resulterer i forvrengning av de resulterende PSDene på grunn av vindueffekter. Nøkkelen for ikke-parametriske metoder er robustheten8212. De estimerte PSDene inneholder ikke falske frekvenstopper. Parametriske metoder bruker derimot ikke datavinduering. Parametriske metoder antar at et signal passer til en bestemt modell. De estimerte PSDene kan inneholde falske frekvenstopper hvis den antatte modellen er feil. PSD estimert med parametriske metoder er mindre partisk og har lavere variasjon enn PSD estimert med nonparametriske metoder dersom den antatte modellen er korrekt. Størrelsene på PSD-er estimert med parametriske metoder er imidlertid vanligvis feil. Merk Under spektralanalyse kan du gjennomsnittlige suksessive spektrummålinger for å redusere estimeringsvariasjon og forbedre målingsnøyaktigheten. Bruk TSA gjennomsnittlig PSD VI til å gjennomsnittlig estimert spektrum kontinuerlig.12.1: Estimering av spektral tetthet Vi har tidligere diskutert periodogrammet, en funksjonsgraf som viser informasjon om periodiske komponenter i en tidsserie. Eventuelle tidsserier kan uttrykkes som summen av cosinus og sinusbølger som svinger ved de grunnleggende (harmoniske) frekvensene jn. med j 1, 2,, n 2. Periodogrammet gir informasjon om de relative frekvensene for de ulike frekvensene for å forklare variasjonen i tidsseriene. Periodogrammet er et utvalgsestimat av en populasjonsfunksjon kalt spektral tetthet, som er en frekvensdomæne karakterisering av en befolkningsstasjonær tidsserie. Spektral tettheten er en frekvens domener representasjon av en tidsserie som er direkte relatert til autokovarians tid domene representasjon. I hovedsak inneholder spektral tetthet og autokovariansfunksjonen den samme informasjonen, men uttrykker den på forskjellige måter. Gjennomgå Merknad. Autokovariansen er telleren av autokorrelasjonen. Autokorrelasjonen er autokovariansen delt av variansen. Anta at (h) er autokovariansfunksjonen til en stasjonær prosess, og at f () er spektral tettheten for samme prosess. I notasjonen til foregående setning, h tidsforsinkelse og frekvens. Autokovariansen og spektral tettheten har følgende forhold: På språket av avansert beregning er autokovarians og spektral tetthet Fourier transformasjonspar. Vi vil ikke bekymre oss om beregningen av situasjonen. Godt fokus på estimeringen av spektral tettheten frekvensdomene karakterisering av en serie. Fourier-transformasjonsligningene er bare gitt her for å fastslå at det er en direkte kobling mellom tidsdomenerepresentasjonen og frekvensdomenerrepresentasjonen av en serie. Matematisk defineres spektral tettheten for både negative og positive frekvenser. På grunn av funksjonens symmetri og dens repeterende mønster for frekvenser utenfor området -12 til 12, trenger vi imidlertid bare å være opptatt av frekvenser mellom 0 og 12. Den totale integrerte spektraldensiteten er lik variansen i serien. Dermed kan spektral tettheten innenfor et bestemt frekvensintervall betraktes som mengden av variansen forklart av disse frekvensene. Metoder for estimering av spektral tetthet Råperiodogrammet er et grovt utvalgsestimat av populasjonsspektraldensiteten. Estimatet er grovt, delvis fordi vi bare bruker de diskrete grunnleggende harmoniske frekvensene for periodogrammet, mens spektral tettheten er definert over et kontinuum av frekvenser. En mulig forbedring av periodogrammet estimat av spektral tetthet er å glatte det ved å bruke sentrert glidende gjennomsnitt. En ytterligere utjevning kan opprettes ved hjelp av tapering metoder som vekter endene (i tid) av serien mindre enn sentrum av dataene. Ikke dekk tapende i denne leksjonen. Interesserte kan se Seksjon 4.5 i boken og ulike Internett-kilder. En alternativ tilnærming til å utjevne periodogrammet er en parametrisk estimeringsmetode basert på det faktum at en hvilken som helst stasjonær tidsserie kan tilnærmet ved en AR-modell av noen rekkefølge (selv om det kan være en høy ordre). I denne tilnærmingen er det funnet en egnet AR-modell, og deretter beregnes spektral tettheten som spektral tettheten for den estimerte AR-modellen. Utjevningsmetode (Nonparametric Estimation of Spectral Density) Den vanlige metoden for å utjevne et periodogram har et så fint navn som det høres vanskelig ut. Faktisk er det bare en sentrert glidende gjennomsnittlig prosedyre med noen få mulige modifikasjoner. For en tidsserie er Daniell-kjernen med parameter m et sentrert glidende gjennomsnitt som skaper en glatt verdi ved tid t ved å beregne alle verdier mellom tidene tm og tm (inkluderende). For eksempel er utjevningsformelen for en Daniell-kjerne med m 2 In R, kan vektningskoeffisientene for en Daniell-kjerne med m 2 genereres med kommandokjernen (daniell, 2). Resultatet er coef-2 0,2 coef-1 0,2 coef 0 0,2 coef 1 0,2 coef 2 0,2 Abonnementene for coef refererer til tidsforskjellen fra midten av gjennomsnittet ved tid t. Dermed er utjevningsformelen i dette tilfellet som er den samme som formelen gitt ovenfor. Den modifiserte Daniell-kjernen er slik at de to endepunktene i gjennomsnittet mottar halv vekten som interiørpunktene gjør. For en modifisert Daniell-kjerne med m 2, er utjevningen i R, vil kommandokjernen (modifisert. daniell, 2) angi vektningskoeffisientene som nettopp er brukt. Enten kan Daniell-kjernen eller den modifiserte Daniell-kjernen bli viklet (gjentatt) slik at utjevningen påføres igjen til de jevne verdiene. Dette gir en mer omfattende utjevning ved gjennomsnittsnivå over et bredere tidsintervall. For eksempel å gjenta en Daniell-kjerne med m 2 på de glattede verdiene som resulterte fra en Daniell-kjerne med m 2, ville formelen være Dette er gjennomsnittet av glattede verdier innen to tidsperioder t. i begge retninger. I R vil kommandokjernen (daniell, c (2,2)) levere koeffisientene som vil bli brukt som vekt i gjennomsnitt av de opprinnelige dataværdiene for en innviklet Daniell-kjerne med m 2 i begge smoothings. Resultatet er gt kernel (daniell, c (2,2)) coef-4 0,04 coef-3 0,08 coef-2 0,12 coef-1 0,16 coef 0 0,20 coef 1 0,16 coef 2 0,12 coef 3 0,08 coef 4 0,04 Dette gir utjevning formel En konvolusjon av den modifiserte metoden hvor endepunktene har mindre vekt er også mulig. Kommandokjernen (modifisert. daniell, c (2,2)) gir disse koeffisientene: coef-4 0,01563 coef-3 0,06250 coef-2 0.12500 coef-1 0.18750 coef 0 0.21875 coef 1 0.18750 coef 2 0.12500 coef 3 0.06250 coef 4 0.01563 Dermed er senterverdiene vektet litt tyngre enn i den umodifiserte Daniell-kjernen. Når vi slipper et periodogram, er vi utjevning over et frekvensintervall i stedet for et tidsintervall. Husk at periodogrammet bestemmes ved de grunnleggende frekvensene j jn for j 1, 2, n 2. La jeg (j) angi periodogramverdien ved frekvens j jn. Når vi bruker en Daniell-kjerne med parameter m for å jevne et periodogram, er den glatte verdien (hat (omegaj)) et vektet gjennomsnitt av periodogramverdier for frekvenser i området (j-m) n til (jm) n. Det er L 2 m 1 grunnfrekvensverdier i området (j-m) n til (jm) n. Utvalget av verdier som brukes til utjevning. Båndbredden for det glatte periodogrammet er definert som Båndbredden er et mål på bredden på frekvensintervallet (ene) som brukes til å jevne ut periodogrammet. Når ujevne vekter brukes i utjevning, defineres båndbreddedefinisjonen. Angi den glatte periodogramverdien ved j jn som hatt (omegaj) sum hk jeg forlot (omegaj frac høyre). Hk er de muligens ulikvektene som brukes i utjevningen. Båndbreddeformelen blir da endret til Egentlig fungerer denne formelen også for likevekter. Båndbredden skal være tilstrekkelig til å jevne ut vårt estimat, men hvis vi bruker en båndbredde som er for stor, glatt ut periodogrammet for mye og savner å se viktige topper. I praksis tar det vanligvis noen eksperimenter for å finne båndbredden som gir en passende utjevning. Båndbredden styres hovedsakelig av antall verdier som er i gjennomsnitt i utjevningen. Med andre ord, m-parameteren for Daniell-kjerne og om kjerne er innviklet (gjentatt), påvirker båndbredden. Merk: Båndbredder R rapporterer med sine tegninger samsvarer ikke med verdiene som skal beregnes ved hjelp av formlene ovenfor. Vennligst se fotnoten på s. 197 av teksten din for en forklaring. Averagingsmoothing periodogrammet med en Daniell-kjernen kan oppnås i R ved å bruke en sekvens av to kommandoer. Den første definerer en Daniell-kjerne, og den andre skaper det glatte periodogrammet. For eksempel, anta at den observerte serien heter x og vi ønsker å jevne periodogrammet ved hjelp av en Daniell-kjerne med m 4. Kommandoene er k-kjerne (daniell, 4) spec. pgram (x, k, taper0, log no) Den første kommandoen skaper vektningskoeffisientene som trengs for utjevning og lagrer dem i en vektor kalt k. (Det er tilfeldig å kalle det k. Det kan kalles noe.) Den andre kommandoen ber om et spektral tetthets estimat basert på periodogrammet for serien x. ved hjelp av vektningskoeffisientene lagret i k, uten tap, og plottet vil være på vanlig skala, ikke en loggskala. Hvis en konvolusjon er ønsket, kan kjernekommandoen bli endret til noe som k kjerne (daniell, c (4,4)). Det er to mulige måter å oppnå en modifisert Daniell-kjernen på. Du kan enten endre kjernekommandoen for å referere til modifisert. daniell i stedet for daniell, eller du kan hoppe over kjernekommandoen og bruke en spans parameter i kommandoen spec. pgram. Spansparameteren gir lengden (2 m 1) av den ønskede modifiserte Daniell-kjernen. For eksempel har en modifisert Daniell-kjerne med m 4 lengde L 2 m 1 9 slik at vi kunne bruke kommandoen spec. pgram (x, spans9, taper 0, logno) To passerer av en modifisert Daniell-kjerne med m 4 på hvert pass kan gjøres ved hjelp av spec. pgram (x, spansc (9,9), konisk 0, logno) Eksempel. Dette eksemplet vil bruke fiskerekruteringsserien som brukes flere steder i teksten, inkludert flere steder i kapittel 4. Serien består av n 453 månedlige verdier av et mål på en fiskpopulasjon på en sørlig halvkuleplassering. Dataene er i filen rekruttering. dat. Råperiodogrammet kan opprettes ved hjelp av kommandoen (eller det kan opprettes ved hjelp av metoden gitt i leksjon 6). spec. pgram (x, taper0, logno) Merk at i kommandoen bare gitt har vi utelatt parameteren som gir vekter for utjevning. Det røde periodogrammet følger: Det neste diagrammet er et jevnt periodogram med en Daniell-kjerne med m 4. Merk at en utjevning av utjevning er at den dominerende toppen i den ujevne versjonen nå er den nest høyeste toppen. Dette skjedde fordi toppen er så skarpt definert i den ujevne versjonen at når vi gjennomsnittlig det med noen omgivende verdier, blir høyden redusert. Det neste plottet er et jevnt periodogram ved bruk av to passerer av en Daniell-kjerne med m 4 på hvert pass. Legg merke til hvordan det er jevnere enn tidligere. For å lære hvor de to dominerende toppene er plassert, tilordne et navn til spec. pgram-utgangen, og så kan du liste den. For eksempel, spesifikasjoner spec. pgram (x, k, taper0, logno) specvalues Du kan sile gjennom utgangen for å finne frekvensene hvor toppene oppstår. Frekvensene og spektral tetthetsestimatene er oppført separat, men i samme rekkefølge. Identifiser maksimale spektraldensiteter og finn deretter de tilsvarende frekvensene. Her er den første toppen med en frekvens .0229. Perioden (antall måneder) assosiert med denne syklusen 1.0229 43.7 måneder, eller ca 44 måneder. Den andre topp forekommer med en frekvens på 0,083333. Den tilknyttede perioden 1.08333 12 måneder. Den første toppen er forbundet med en El Nino vær-effekt. Den andre er den vanlige 12 måneders sesongvirkningen. Disse to kommandoene vil sette vertikale prikkede linjer på den (estimerte) spektraldensitetsplottet ved omtrentlige plasseringer av toppdensiteter. abline (v144, ltydotted) abline (v112, lty prikket) Heres den resulterende plottet: Weve glatt nok, men for demonstrasjonsformål er neste plot resultatet av spec. pgram (x, spansc (13,13), taper0, logno ) Dette bruker to passeringer av en modifisert Daniell-kjerne med lengde L 13 (så m 6) hver gang. Tomten er litt jevnere, men ikke så mye. Toppene, forresten, er på nøyaktig samme steder som i tomten umiddelbart over. Det er definitivt mulig å glatte for mye. Anta at vi skulle bruke en modifisert Daniell-kjerne med total lengde 73 (m 36). Kommandoen er spec. pgram (x, spans73, taper0, logno) Resultatet følger. Toppene er borte Parametrisk estimering av spektral tetthet Utjevningsmetoden for spektral tetthets estimering kalles en nonparametrisk metode fordi den ikke bruker noen parametrisk modell for den underliggende tidsseriprosessen. En alternativ metode er en parametrisk metode som innebærer å finne den beste passende AR-modellen for serien og deretter plotte spektraldensiteten til modellen. Denne metoden støttes av en teorem som sier at spektral tettheten i en hvilken som helst tidsserieprosess kan tilnærmet av spektraldensiteten til en AR-modell (av en eller annen rekkefølge, muligens en høy). I R, er parametrisk estimering av spektral tetthet enkelt gjort med kommandofunksjonen spec. ar. En kommando som spec. ar (x, logno) vil føre til at R gjør alt arbeidet. Igjen, for å identifisere topper kan vi tildele spesifikke resultater ved å gjøre noe som specvaluesspec. ar (x, log no). For eksempel på rekruttering av fisk, er følgende tomt resultatet. Legg merke til at tettheten plottet er den av en AR (13) modell. Vi kan sikkert finne flere parsimoniske ARIMA-modeller for disse dataene. Brukte bare spektraldensiteten til modellen til å omtrentliggjøre spektral tettheten til den observerte serien. Utseendet til estimert spektral tetthet er omtrent det samme som før. Den estimerte El Nino-toppen ligger på et litt annerledes sted, frekvensen er ca. 0,024 for en syklus på ca. 1.024 omtrent 42 måneder. En serie skal de-trender før en spektralanalyse. En trend vil føre til en slik dominerende spektral tetthet i lav frekvens at andre topper ikke vil bli sett. Som standard utfører R-kommandoen spec. pgram en trend med en lineær trendmodell. Det vil si at spektral tettheten estimeres ved bruk av residualene fra en regresjon gjort hvor de y-variable observerte data og x-variabelen t. Hvis en annen type trend er tilstede, kan en kvadratisk for eksempel bruke en polynomisk regresjon til å de-trene dataene før den estimerte spektraldensiteten utforskes. Vær imidlertid oppmerksom på at R-kommandoen spec. ar. men utfører ikke en de-trending som standard. Anvendelse av Smoothers til Raw Data Merk at smoothers beskrevet her også kunne brukes på rå data. Daniell-kjernen og dens modifikasjoner beveger seg ganske enkelt gjennomsnittlig (eller vektet glidende gjennomsnittlig) glatteevne. Navigation16. Spektral estimering Spektral estimeringsproblemet for en diskret tidsserie generert av en lineær, tidsinvariant prosess kan formuleres i form av tre modeller: autoregressive (AR), glidende gjennomsnitt (MA) og autoregressivt bevegelige gjennomsnitt (ARMA). Analyseprosedyrene varierer hver enkelt, og spesifikasjonsfeil oppstår på grunn av bruk av den uhensiktsmessige algoritmen. AR - og MA-modellene fører henholdsvis til maksimal entropi (MEM) og klassisk lag-vindu-tilnærminger. ARMA-modellen har mye seismisk interesse bemuse enhetens impulsrespons av et horisontalt stratifisert medium er uttrykkelig på denne måten. Siden tilbakemeldingskomponenten har den laveste forsinkelsesegenskapen, har en ARMA spektral estimeringsteknikk som tilfredsstiller dette kravet spesiell seismisk relevans. Et slikt spektralestimat resulterer fra anvendelsen av en iterativ minst-kvadrat-algoritme til utvalgte portene til den observerte tidsserien. Et utvalg av syntetiske tidsserier tjener til å illustrere nedbrytningen i spektralestimatet som følge av en feilaktig spesifikasjon av modellen. Mye har blitt skrevet i de senere år om spektralanalyse av diskrete tidsserier. Det eksisterer ingen enkelt korrekt teknikk for å beregne spektret i fravær av kunnskap om hvilken type prosess som har generert dataene. Som vi har sett i kapittel 9, skiller vi mellom tre mulige prosesser: autoregressiv (AR), glidende gjennomsnitt (MA) og autoregressivt bevegelige gjennomsnitt (ARMA). I tekniske termer beskriver disse prosessene allpolig (eller tilbakemelding), all-zero (eller feedforward) og pole-zero (eller feedbaek-feedforward) - systemene. Generelt sett har vi ikke forutgående kunnskap om tidsserienes generasjonsmekanisme, og vi er tvunget til å anta at våre registrerte data faktisk tilfredsstiller en av disse tre representasjonene. Når denne avgjørelsen er gjort, må vi velge en passende algoritme for beregning av det faktiske spektralestimatet. I tilfelle av AR - eller allpoligmodellen er den maksimale entropi-metoden (MEM) som implementert med en teknikk grunnet Burg (1967, 1975) hensiktsmessig. For MA, eller all-zero modellen, benytter vi klassisk lag-vindu-tilnærming (Blackman og Tukey, 1959). I tillegg 16-1 gir vi matematikken til den klassiske lag-vindu-metoden, og i tillegg 16-2, matematikken til maksimal entropi-metoden. ARMA - eller pole-zero-modellen har også fått oppmerksomhet i nyere litteratur: Relevante spektrale estimateknikker har blitt beskrevet av Anderson (1971, kap. 5), av Box og Jenkins (1970, kap. 6 og 7) og ved Alam (1978). Den rasjonelle representasjonen av impulsresponsen til en ARMA-prosess er gitt ved forholdet mellom to polynomene i den komplekse variabelen z. I dette kapitlet skal vi være spesielt interessert i spektralanalyse av seismogrammer. Som vi har sett i kapittel 13, kan enhetens impulsrespons av et perfekt elastisk, horisontalt stratifisert medium uttrykkes som forholdet mellom to slike polynomier i kraften av z. men med den ekstra begrensningen at nevneren polynom har den laveste forsinkelsesegenskapen. Med andre ord tvinger denne tilstanden polene til systemet til å ligge utenfor periferien av enhetens sirkel z 1 i det komplekse planet, og tillater oss å utvide ARMA-polynomforholdet i form av en konvergerende kraftserie i z. Det vil derfor være ønskelig å søke en ARMA spektral estimeringsalgoritme som garanterer en minimumsforsinkelsesnevner. Selv om det ikke er noen grunnleggende matematisk behov for en ARMA spektral estimeringsmetode for å produsere en minimumsforsinkelsesnevner, har vi nettopp oppgitt at en slik oppgave har sterk fysisk motivasjon. Følgelig er minimumsforsinkelsesegenskapen til nevnen et sterkt punkt, og en ikke nødvendigvis. delt av andre ARMA spektral estimatorer. Innholdsfortegnelse Er du medlem av SEG eller EEGS Hvis du er SEG-medlem (med tilgang til SEG - og EEGS-tidsskrifter, utvidede abstrakter og prosesser og nedsatte medlemspriser for individuelle kjøp av SEG-bøker) eller du har allerede kjøpt tilgang til dette innhold separat, klikk her for å logge inn og få tilgang til ønsket innhold. Hvis du er et EEGS-medlem (med tilgang til EEGS-publikasjoner og SEG Technical Program Expanded Abstracts), klikk her for å logge inn og få tilgang til ønsket innhold. Alt eBok innhold kan kjøpes separat av enkeltpersoner og institusjoner. Kjøp dette innholdet Velg blant følgende alternativer: SEG Digital Library Institutional Options SEG har utvidet sin samling av online bøker til mer enn 100 titler med en kombinasjon av nye og eldre verker, og har lagt til et evigvarende kjøpskjøp for hele samlingen. Institusjonelle abonnementer til SEG Digital Library (inkludert SEG og EEGS tidsskrifter, utvidede abstrakter og prosesser) er også tilgjengelige for kjøp. Mens SEG journal og magasininnhold er tilgjengelig for SEG og EEGS medlemmer gratis som en del av medlemskapet, må ebøker kjøpes individuelt (med rabatt til medlemmer), eller via abonnement.
No comments:
Post a Comment